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Adaptive Regelung

Warum eine adaptive Regelung?

In diesem Abschnitt soll nochmals der IT1-Prozess betrachtet werden, der bereits im Abschnitt “P-Regelung” mit Hilfe eines P-Reglers stabilisiert wurde.
Jetzt wird jedoch angenommen, dass die Zeitkonstante a ein unsicherer Streckenparameter darstellt und sich mit der Zeit ändert:

G(s)=\dfrac{1}{a \cdot s}\dfrac{1}{s+1}

Aufgrund der Variabilität von a, ändern sich bei einer nicht-adaptiven Regelung die Kenngrößen des geschlossenen Regelkreises (z.B. Anregelzeit, Ausregelzeit und Überschwingweite) in Abhängigkeit von a. Für den Fall einer Änderung der Zeitkonstanten von a=1.0 auf a=0.1 sind die Sprungantworten der nicht-adapitven P-Regelung in Bild 1 dargestellt.
Um die Änderung des Parameters a zu kompensieren, müsste im Fall der nicht-adaptiven Regelung die Reglerverstärkung K von K=1,0 auf K=0,1 abgesenkt werden. Dies geht aus der Führungsübertragungsfunktion des geschlossenen P-Regelkreises hervor:

H(s)=\dfrac{1}{\dfrac{a}{K}s^2 + \dfrac{a}{K}s + 1}

a=1.0\wedge K=1.0\rightarrow \dfrac{a}{K}=1

a=0.1\wedge K=0.1\rightarrow \dfrac{a}{K}=1

Zur Anpassung der Regelung an variante Streckenparameter können adaptive Regelungen eingesetzt werden. Im Folgenden wird der Ansatz der geregelten Adaption mit parallelem Vergleichsmodell [1], auch Model Reference Adaptive Control [2] genannt, erläutert.

Adaptive Regelung: Model Reference Adaptive Control (MRAC)

Bei der adaptiven Regelung nach dem Prinzip des Model Reference Adaptive Control (MRAC) wird mit Hilfe eines Referenzmodells das gewünschte Übertragungsverhalten des geschlossenen Regelkreises vorgegeben.

Bild 2 zeigt das allgemeine Blockschaltbild einer MRAC-Regelung. Das MRAC-System besteht aus einem inneren, geschlossenen Feedback-Regelkreis und dem für die Adaption zuständigen äußeren Kreis. Die Adaption der Regler-Parameter erfolgt auf Basis eines Gütekriteriums unter Verwendung eines Gradientenverfahren

G_r(s)=\dfrac{1}{s^2+s+1}

Die adaptive Reglergleichung ist wie folgt gegeben:

u=\theta_1 \cdot w- \theta_2 \cdot y_p

Aber warum ergibt sich der Regler so und nicht anders? Dies wird nach Aufstellen der Führungsübertragungsfunktion H(s) des geschlossenen MRAC-Regelkreises klar:

y_p=\dfrac{1}{a \cdot s(s+1)}(\theta_1 \cdot w- \theta_2 \cdot y_p)

H(s)=\dfrac{Y_P(s)}{W(s)}=\dfrac{\dfrac{\theta_1}{\theta_2}}{\dfrac{a}{\theta_2}s^2 + \dfrac{a}{\theta_2}s + 1}

Mit Hilfe der angegebenen Reglergleichung kann der unsichere Parameter a durch den adaptiven Reglerparameter θ2 so beeinflusst werden, das ω0 und die Dämpfung von H(s) mit dem Referenzmodell übereinstimmen. Zwar beeinflusst θ2 ebenso die statische Verstärkung, jedoch wird dies durch den Reglerparameter θ1 kompensiert.
Die optimalen Parameter θ1 und θ2 können durch Koeffizientenvergleich von Gr(s) und H(s) ermittelt werden:

\theta_{1(opt)} = \theta_{2}

\theta_{2(opt)} = a

Dementsprechend muss für θ1 keine eigene Adaptionsgleichung implementiert werden. Vielmehr ist es ausreichend, den Wert von θ2 für θ1 zu übernehmen.

Dennoch soll auch die Adaption von θ1 weiter verfolgt werden. Die spätere Darstellung des Konvergenzverhaltens der Parameter θ1 und θ2 bestätigt jedoch, dass θ1 und θ2 gegen identische Werte konvergieren.

Um jetzt die Adaption der Reglerparameter θ1 und θ2 zu realisieren, wird im Rahmen der MRAC-Regelung ein Gütefunktional in Abhängigkeit des Fehlers e definiert:

J(\theta)=\dfrac{1}{2} \cdot e^2

Hierbei repräsentiert der Fehler e die Abweichung des Referenzmodellausganges zum Ausgang der Regelstrecke und somit die Abweichung zwischen dem Übertragungsverhalten von Referenzmodell und dem des geschlossenen MRAC-Regelkreises.
Um das Gütefunktional J und damit den Fehler e zu minimieren, wird der Parametervektor θ=[θ1 θ2] in Richtung des negativen Gradienten von J angepasst, so dass sich die MIT-Regel [2] ergibt:

\dfrac{d\theta}{dt}=-\gamma\dfrac{dJ}{d\theta}= -\gamma\dfrac{de}{d\theta} \cdot e

MRAC-Regelung einer IT1-Strecke

Der in der Adaptionsvorschrift der MIT-Regel enthaltene Fehler e kann in Abhängigkeit von θ1 und θ2 ausgedrückt werden:

e=y_p-y_m

e=\dfrac{\theta_1}{\underbrace{a \cdot s^2 + a \cdot s + \theta_2}_{H(s)=\dfrac{y_p}{w}}} \cdot w-G_r(s) \cdot w

Die Ableitung nach θ1 und θ2 ergibt:

\dfrac{de}{d\theta_1}=\dfrac{1}{a \cdot s^2 + a \cdot s + \theta_2}w

\dfrac{de}{d\theta_2}= -\dfrac{\theta_1}{(a \cdot s^2 + a \cdot s + \theta_2)^2}w = -\dfrac{1}{a \cdot s^2 + a \cdot s + \theta_2}y_p

Hieraus resultiert die Änderung der adaptiven Parameter θ1 und θ2 wie folgt:

\dfrac{d\theta_1}{dt}=-\gamma \cdot \dfrac{de}{d\theta_1} \cdot e = -\gamma \cdot \dfrac{\dfrac{1}{\theta_2}}{\dfrac{a}{\theta_2} \cdot s^2 + \dfrac{a}{\theta_2} \cdot s + 1}w \cdot e

\dfrac{d\theta_2}{dt}=-\gamma \cdot \dfrac{de}{d\theta_2} \cdot e = \gamma \cdot \dfrac{\dfrac{1}{\theta_2}}{\underbrace{\dfrac{a}{\theta_2} \cdot s^2 + \dfrac{a}{\theta_2} \cdot s + 1}_{F(s)}}y_p \cdot e

Zur Berechnung der Änderung von θ1 und θ2 ist eine Filterung des Signals w und yp mit der Übertragungsfunktion F(s) erforderlich. Da F(s) den unsicheren und damit unbekannten Parameter a sowie den adaptiven Parameter θ2 enthält, kann F(s) nicht exakt bestimmt werden. Vergleicht man jedoch die Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises H(s) mit dem Referenzmodell, so kann a/θ2=1 geschätzt werden (optimale Lösung). Der Nenner von F(s) wird dann wie folgt approximiert:

\dfrac{a}{\theta_2} \cdot s^2 + \dfrac{a}{\theta_2} \cdot s + 1 \approx s^2 + s + 1

Der Faktor 1/θ2 kann in die Adaptionsschrittweite γ einfließen, so dass F(s) folgende Form annimmt:

F(s)=\dfrac{1}{s^2+s+1}

Um also während der Regelung die Änderung der adaptiven Parameter zu berechnen, ist w und yp mit F(s) zu filtern und anschließend mit γ und e zu multiplizieren (Vorzeichen beachten).

Normalisierung

Typisch für adaptive Verfahren, die auf dem Gradientenverfahren basieren, ist die Abhängigkeit der Adaptionsgeschwindigkeit von der Amplitude des Eingangssignales w [2]. So kann es passieren, dass bei entsprechend hoher Eingangsamplitude das adaptive Verfahren divergiert. Um den Einfluss der Eingangsamplitude zu eliminieren, wird das gefilterte Eingangssignal φ normalisiert [2], so dass sich die Gleichung zur Anpassung der adaptiven Parameter wie folgt ergibt:

\dfrac{d\theta_i}{dt}=\gamma\dfrac{\varphi_i}{\alpha+\varphi_i^2} \cdot e

Hierin ist φi=-de/θi.
Die Herleitung des normalisierten Algorithmus entnehmen Sie bitte der Literatur [2]. Das Blockschaltbild der beschriebenen MRAC-Regelung mit normalisierter Parameteranpassung ist in Bild 3 dargestellt.

Simulation

Die obigen Erläuterungen basieren auf der Annahme eines Regelkreises mit zeitkontinuierlichen Übertragungsfunktionen und Signalen. Simulationen auf digitalen Rechnern erfordern jedoch eine zeitdiskrete Signalverarbeitung. Die zeitkontinuierlichen Übertragungsfunktionen müssen also diskretisiert werden.
Hier wird von einer quasikontinuierlichen Regelung ausgegangen. Für die Simulation werden die zeitkontinuierlichen Übertragungsfunktionen unter der Annahme diskretisiert, dass die zeitkontinuierlichen Übertragungsfunktionen und die zeitdiskreten Übertragungsfunktionen gleiches Übertragungsverhalten im relevanten Frequenzbereich aufweisen. Diese Annahme ist möglich, wenn sich die Abtastzeit sehr klein gegen die kleinste Zeitkonstante der betrachteten Übertragungsfunktionen darstellt [3]. Da alle Zeitkonstanten mit T=1 gewählt wurden, sollte eine Abtastzeit von Ts=0.05 ausreichen, um den quasikontinuierlichen Fall anzunehmen.
Die zu regelnde IT1-Strecke mit dem unsicheren Parameter a lautet:

G(s)=\dfrac{1}{a \cdot s}\dfrac{1}{s + 1}

Wie bereits erwähnt, soll der geschlossene Regelkreis das Verhalten des Referenzmodells Gr(s) annehmen:

G_r(s)=\dfrac{1}{s^2 + s + 1}

Die Updategleichungen zur Anpassung der Parameter θ1 und θ2 wurden wie folgt implementiert:

\theta_i(n)=\theta_i(n-1)-\gamma \dfrac{\varphi_i}{\alpha + \varphi_i^2} \cdot e(n)

i=1,2 \;\;\;\; \alpha=0.01

Szenario 1

Eingangssignal w:
Sinus 0.1 Hz, Scheitelwert=1
MRAC-Parameter:
γ=0.0025, α=0.01
Änderung von a:
Lineare Verkleinerung von a=1.0 auf a=0.1, ab 750s a=0.1
Simulationszeit:
1000 Sekunden
Startwerte für θ:
θ1=0.5, θ2=0.5

In Bild 4 ist die lineare Verkleinerung des unsicheren Parameters a dargestellt. Die Verkleinerung von a simuliert eine Streckenänderung der Regelstrecke G(s) während der Regelung.
Die Simulation wird für 1000 Sekunden berechnet. Dadurch ist sichergestellt, dass sich der unsichere Streckenparameter von a=1.0 nach a=0.1 langsam gegen die adaptiven Parameter ändert.
Bild 5 stellt die Regelgröße yp dem Ausgang des Referenzmodells ym gegenüber. Bei idealer adaptiver Regelung müssten beide Signale exakt übereinstimmen.
Um den Einschwingvorgang genauer darzustellen, wurden die ersten 50 Sekunden in Bild 6 dargestellt. Zu sehen ist, dass sich die Regelgröße yp bereits nach 50 Sekunden dem Sollverlauf des Referenzmodellausganges weitgehend angenähert hat. Hierbei ist die Anpassungsgeschwindigkeit vor dem Hintergrund zu beurteilen, dass die adaptiven Parameter mit willkürlichen Startwerten initialisiert wurden und deshab der Adaptionsbedarf zu Beginn am Größten ist. Dies ist auch an der Werteänderung der Parameter θ während der ersten 50 Sekunden in Bild 8 zu sehen.
Bild 7 stellt den Zeitbereich heraus, in dem die Verringerung des unsicheren Parameters a gestoppt wird, so dass a bis zum Ende der Simulation konstant bei a=0.1 belassen wird. Zu beobachten ist, dass sich für t>750s die Regelgröße yp dem Referenzsignal ym noch genauer annähert. Dies hängt damit zusammen, da während der Änderung von a die adaptiven Parameter ständig angepasst werden, so dass die optimale Lösung nie genau erreicht werden kann. Bei invariantem a ist eine ständige Anpassung von θ1 und θ2 nicht erforderlich – die optimale Lösung kann beibehalten werden. Dies hat zur Folge, dass sich die adaptiven Parameter θ ebenfalls nicht mehr ändern – Bild 8.

Bemerkung: Die Simulation startet mit allen Anfangswerten gleich null, so dass zu Beginn der Simulation ein Einschwingvorgang zu beobachten ist.

Szenario 2

Eingangssignal w:
Rauschen mit konstanter spektraler Leistungsdichte bis 10Hz, Amplitude gleichverteilt, maximale Amplitude=1
MRAC-Parameter:
γ=0.0025, α=0.01
Änderung von a:
Lineare Verkleinerung von a=1.0 auf a=0.1, ab 750s a=0.1
Simulationszeit:
1000 Sekunden

1 und θ2 wie erwartet ähnlich zum Verlauf der Parameter in Bild 8. Ersichtlich ist, dass wie bereits oben erwähnt θ1 = θ2 gilt. Zusätzlich zeigt Bild 9, dass der errechnete optimale Wert für θ2 dem Wert des unsicheren Streckenparameters a entspricht.

Bemerkung zur Gleichheit θ1= θ2: Die Adaption von θ1 ist für dieses Beispiel nicht zwingend erforderlich. Eine einfaches Kopieren des Wertes von θ2 in θ1 würde ausreichen.
Im Gegensatz zu diesem Beispiel wäre jedoch eine Adaption von θ1 unbedingt erforderlich falls die statische Verstärkung der Regelstrecke G(s) ebenfalls variabel bzw. unsicher wäre. In diesem Fall würde der Parameter θ1 sich an die variable Verstärkung von G(s) anpassen, so dass die Verstärkung des geschlossenen Regelkreises dem Referenzmodell entspricht.

Übertragungsverhalten

Was passiert bei der Adaption mit der Führungsübertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises?
Das Ziel der Adaption ist es die Parameter θ1 und θ2 so anzupassen, dass die Regelgröße yp möglichst genau dem Ausgang des Referenzmodells ym folgt. Wenn dies der Fall ist, müssten neben den Ausgangssignalen ebenfalls die Übertragungsfunktionen ähnlich sein. Dies wird in Bild 10 bestätigt. Sowohl der Amplitudengang des geschlossenen MARC-Regelkreises (blau gepunktete Linie) wie auch der Phasengang stimmen mit dem des Referenzmodells (grau durchgezogene Linie) überein.
Zum Vergleich wurde ebenfalls das Übertragungsverhalten eines nicht-adaptiven Regelkreises dargestellt (gelb durchgezogene Linie). Hierbei wurden θ1 und θ2 als nicht-adaptive Parameter bei einer Streckenzeitkonstanten von a=1.0 ausgelegt. Da das Bild den Frequenzgang zum Ende der Simulation zeigt (a=0.1), wird deutlich, dass die nicht-adaptive Regelung für die vorliegende Regelungsaufgabe ungeeignet erscheint. Dies bestätigt auch Bild 11, in dem die gewünschte Sprungantwort des Referenzmodells den Sprungantworten der adaptiven MARC-Regelung sowie der nicht-adaptiven Regelung gegenübergestellt wurde. Es ist zweifelsfrei erkennbar, dass sich die Regelgüte der nicht-adaptiven Regelung für dieses Beispiel der Regelstreckenänderung unakzeptabel verschlechtert.

Eine kleine Schlussbemerkung

Insgesamt eine schöne Sache so eine adaptive Regelung – jedoch nur dann zu empfehlen, wenn eine optimale Regelung bei variabler Regelstrecke erforderlich ist. Meist sind robust ausgelegte nicht-adaptive Regelungen, die für ein bestimmtes Intervall von Streckenunsicherheit zufriedenstellende Ergebnisse liefern, absolut ausreichend. Zusätzlich erfordert jede adaptive Regelung deutlich mehr Implementierungsaufwand als eine einfache nicht-adaptive Regelung.

[1]: Unbehauen, Heinz: Regelungstechnik III, Vieweg, 2000, 6. Auflage
[2]: Åström, Karl Johan; Wittenmark, Bjorn: Adaptive Control, Prentice Hall, 1994, 2nd ed.
[3]: Lutz, Holger und Wendt, Wolfgang: Taschenbuch der Regelungstechnik, Verlag Harri Deutsch, 2003

B1MRAC_Kenngroessenaenderung

Bild 1: Änderung der Sprungantwort bzw. Änderung der Kenngrößen des geschlossenen Regelkreises aufgrund einer Streckenänderung
B2MRAC_allgemein

Bild 2: Adaptiver Regelkreis nach dem Model Reference Adaptive Control
B3MRAC_detail

Bild 3: Regelkreis einer MRAC-Regelung – Adaption normalisiert
B4MRAC__DiagrammStreckenparameteraenderungA

Bild 4: Zeitlicher Verlauf der Verkleinerung des Streckenparameters a während der Regelung
B5MRAC__AusgangReferenzmodellVsRegelgroesse

Bild 5: Gegenüberstellung von Ausgang des Referenzmodells und Regelgröße
B6MRAC__EinschwingverhaltenSinus2

Bild 6: Darstellung der ersten 50 Sekunden der Signale aus Bild 5
B7MRAC__EinschwingverhaltenSinus3

Bild 7: Darstellung der Signale aus Bild 5 für das Zeitfenster von 730 bis 780 Sekunden. Für a>750 Sekunden ist der Parameter a invariant.
B8MRAC__KonvergenzThetaSinus

Bild 8: Anpassung der adaptiven Parameter
B9MRAC__KonvergenzThetaRauschen

Bild 9: Verlauf der adaptiven Reglerparameter bei Anregung des geschlossenen Regelkreises mit Rauschen
B10MRAC__Bodeplot

Bild 10: Gegenüberstellung der Frequenzgänge
B11MRAC__Sprungantwort

Bild 11: Gegenüberstellung der Sprungantworten

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