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Deadbeat-Regelung

Bei der Deadbeat-Regelung handelt es sich um einen Regelalgorithmus zur Regelung diskreter Prozesse. Der Deadbeat-Regler wird so ausgelegt, dass eine minimale Einstellzeit erreicht wird, innerhalb der die Regeldifferenz zu null gebracht wird. Dieser Zustand wird als “Deadbeat-Response” bezeichnet.
Die Deadbeat-Reglerauslegung ist dadurch charakterisiert, dass die Nullstellen des Reglers die Polstellen des zu regelnden Prozesses kompensieren.
Im Folgenden soll eine Deadbeat-Regelung für die folgende allgemeine Übertragungsfunktion ausgelegt werden:

E1Deadbeat_GProzess

Bild 1 zeigt den geschlossenen Regelkreis der Deadbeat-Regelung. Die Übertragungsfunktion des Deadbeat-Reglers wird auf Basis der folgenden 2 Bedingungen abgeleitet:

1. Für Sprunganregung soll die Führungsgröße in minimaler Einstellzeit erreicht werden. Das bedeutet:

E2Deadbeat_Forderung1

2. Die Stellgröße soll nach minimaler Einstellzeit invariant sein:

E3Deadbeat_Forderung2

Aus diesen Forderungen ergibt sich für Regelstrecken mit Totzeit die folgende Übertragungsfunktion des Deadbeat-Reglers DB(m+d):

E4Deadbeat_R
E5Deadbeat_R

mit

E6Deadbeat_q0

Die Notation DB(m+d) soll darauf hindeuten, dass nach m+d Abtastschritten der Deadbeat-Zustand erreicht wird. Aus der Gleichung für die Übertragungsfunktion des Reglers R(z) ist ersichtlich, dass der Zähler der Reglerübertragungsfunktion den Nenner der Regelstrecke kompensiert. Deshalb kann eine Deadbeat-Regelung lediglich für asymptotisch stabile Prozesse verwendet werden.

Pole des geschlossenen Regelkreises

Charakteristisch für die Deadbeat-Regelung ist, dass aufgrund der Auslegung alle m+d Pole des geschlossenen Regelkreises in den Ursprung gelegt werden. Dies wird durch Aufstellen der Führungsübertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises ersichtlich:

E7Deadbeat_Gw

Simulation

In diesem Abschnitt soll beispielhaft eine Deadbeat-Regelung für einen IT1-Prozess mit Totzeit (Td=0.5s) ausgelegt werden:

E8Deadbeat_IT1

Die Übertragungsfunktion G(s) wird mit Hilfe der Bilinearen-Transformation [2] unter Annahme einer Abtastzeit von Ts=0.25s diskretisiert, so dass folgende diskrete z-Übertragungsfunktion resultiert:

E8Deadbeat2_IT1z

Die Reglerauslegung erfolgt durch Berechnung von q0 und R(z) nach obigen Formeln:

E9Deadbeat_q0RIT1

Um das Führungsübertragungsverhalten zu beurteilen, wird der geschlossene Regelkreis mit einer Sprungfunktion (w(n)=1) angeregt. Die resultierende Regelgröße y(n) ist in Bild 2 dargestellt. Wie erwartet zeigt der Regelkreis für den Führungssprung das gewünschte Deadbeat-Verhalten. Zum Vergleich wird in Bild 2 als graue Zeitreihe die Antwort des ungeregelten, instabilen IT1-Prozesses auf einen Führungssprung abgebildet.
Der Stellaufwand u(n) zeigt Bild 3.

Da physikalische Stellglieder nicht beliebig hohe Amplituden liefern, ist in realen Systemen die Stellgröße u(n) begrenzt. Ist beispielsweise die Stellgröße lediglich eine maximale Amplitude von u(n)=±10 begrenzt, so wird sich die Regelgüte im Vergleich zu Bild 2 deutlich verschlechtern. Eine Stellgrößenbegrenzung wie sie in Bild 4 dargestellt wird repräsentiert eine nicht-lineare Sättigung zwischen Regler und Regelstrecke. Der geschlossene Regelkreis wurde mit eingefügter Sättigung simuliert und die sich ergebende Übergangsfunktion ist in Bild 5 abgebildet.
Es ist leicht ersichtlich, dass die Einstellzeit sich deutlich verschlechtert. Die sich ergebende und durch die Sättigung begrenzte Stellgröße u(n) ist in Bild 6 dargestellt.

Stellgrößenvorgabe – DB(m+d+1)-Regler

Wird die Einstellzeit im Vergleich zum vorher besprochenen DB(m+d)-Regler um einen Abtastschritt auf m+d+1 erhöht, so ist es möglich eine beliebige Stellgröße u(n) vorzugeben.
Da u(0) den größten Wert aufweist, liegt es nahe diesen vorzugeben. Die Übertragungsfunktion des DB(m+d+1)-Reglers berechnet sich wie folgt [1]:

E10Deadbeat_DBmd1allgemein

In der Praxis werden die Reglerkoeffizienten meist einzeln berechnet. Dies ist durch Ausmultiplizieren des Zählers und Nenners von R(z) möglich. Alternativ kann man Formeln zur direkten Berechnung der Reglerkoeffizienten verwenden. Diese werden in der Literatur hergeleitet [1][2].

Soll nun der bereits bekannte IT1-Prozess mit einem DB(m+d+1)-Regler geregelt werden, so ergibt sich konkret folgende Übertragungsfunktion R(z):

E11Deadbeat_DBmd1IT1

Der Wert für die erste Stellgröße u(0) wird vorgegeben und wurde so gewählt, dass dieser den zweiten Wert der Stellgröße u(1) nicht übersteigt. Daraus ergibt sich, dass alle Stellgrößenwerte unter dem Sättigungswert von ±10 liegen. Die Zeitreihe der Stellgröße u(n) für den DB(m+d+1)-Regler ist in Bild 7 zu sehen.
Da durch Vorgabe des ersten Stellgrößenwertes u(0) die maximale Stellgröße von ±10 nicht erreicht wird, treten keinerlei Verzerrungen der Regelgröße auf. Dies zeigt die Übergangsfunktion des DB(m+d+1)-Regelkreises in Bild 8.
Eine weitere Möglichkeit die Stellgröße zu reduzieren ist die Erhöhung der Abtastzeit [1]. Dies ist jedoch nur begrenzt möglich, da sonst aufgrund des langen Zeitintervalls zwischen den Abtastungen die Einstellzeit der Regelung zu sehr verlangsamt wird.

Bemerkungen

Wie zu Anfang dieses Abschnittes erwähnt wurde, wird eine Deadbeat-Regelung so ausgelegt, dass der Regler die Polstellen der Regelstrecke kompensiert. Problematisch jedoch ist, dass in der Praxis eine exakte Kompensation der Pole nicht möglich ist. Deshalb wird in [1] bemerkt, dass die Deadbeat-Regelung nur für asymptotisch stabile Prozesse verwendet werden darf. In anderer Literatur [2] jedoch werden integrale Prozesse, die nicht asymptotisch stabil sind und bei denen die Pole auf dem Einheitskreis liegen, explizit in den Anwendungsbereich der Deadbeat-Regelung mit eingeschlossen.
Unabhängig von beiden Quellen kann gesagt werden, dass eine Deadbeat-Regelung nur dann für Prozesse mit integralen Anteilen in Frage kommt, wenn die sich auf dem Einheitskreis befindlichen Pole absolut invariant sind. Dies ist bei einigen realen Prozessen der Fall. Betrachtet man beispielsweise das integrale Verhalten eines volllaufenden Wasserbehälters, so wird sich dieses Verhalten aufgrund von Alterung oder sonstigen Umständen nicht zu einem asymptotisch instabilen Verhalten ändern. Eine solche Änderung wäre nur möglich, wenn die Wasserzuflussrate stetig ansteigt. Für das reale System würde dies bedeuten, dass entweder der Wasserdruck oder der Rohrdurchmesser stetig ansteigen müsste, was ausgeschlossen werden kann.

B1Deadbeat_DBRegelkreis

Bild 1: Geschlossener Regelkreis der Deadbeat-Regelung
B3Deadbeat_StellgroesseBDv

Bild 2: Übergangsfunktion des geschlossenen Regelkreises
B3Deadbeat_StellgroesseBDv

Bild 3: Erforderliche Stellgröße u(n) bei Führungssprung
B4Deadbeat_DBRegelkreisSaettigung

Bild 4: Geschlossener Regelkreis mit nichtlinearer Stellgrößenbeschränkung (Sättigung/Saturation)
B5Deadbeat_UebergangsfunktionSaettigung

Bild 5: Übergangsfunktion bei begrenzter Stellgröße
B6Deadbeat_StellgroesseBDvSaettigung

Bild 6: Stellgröße u(n) bei Begrenzung
B7Deadbeat_StellgroesseBDv1

Bild 7: Stellgrößenverlauf der DB(m+d+1)-Regelung bei Vorgabe des ersten Stellgrößenwertes
B8Deadbeat_UebergangsfunktionDBv1

Bild 8: Übergangsfunktion der DB(m+d+1)-Regelung

Literatur zur Deadbeat-Regelung

[1]: Isermann, Rolf:
Digitale Regelsysteme, Springer-Verlag

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[2]: Lutz, Holger und Wendt, Wolfgang:
Taschenbuch der Regelungstechnik, Verlag Harri Deutsch

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