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Internal Model Control

IMC Regelung

Abbildung 1 zeigt die Struktur des geschlossenen IMC Regelkreises. Zentrales Element der IMC Regelung (Internal Model Control) bildet ein Modell Ĝ der Regelstrecke. Das Modell wird zum einen in der Übertragungsfunktion Q und zum anderen zur Schätzung der Störgröße verwendet.
Um die Entwurfsschritte des IMC Reglerdesigns zu verdeutlichen, wird die Regelgröße y in Abhängigkeit von Q und Ĝ im Laplacebereich aufgestellt:

y=\dfrac{1-\hat{G}(s)Q(s)}{1+Q(s)[G(s)-\hat{G}(s)]} \cdot d + G(s)Q(s) \cdot w

Störübertragungsverhalten

Kann gewährleistet werden, dass die Störübertragungsfunktion stabil ist, wird aus der obigen Gleichung ersichtlich, dass die Störung d keinen Einfluss auf die Regelgröße y hat, wenn für Q gilt:

Q(s)=\dfrac{1}{\hat{G}(s)}

Demzufolge ist ein Ziel der Auslegung von Q eine möglichst exakte Inverse von Ĝ zu modellieren. Da jedoch in vielen Fällen die uneingeschränkte Inversion nicht möglich ist, wird in der Praxis lediglich der phasenminimale Anteil von Ĝ zur Inversion herangezogen. Dies wird später im Beispiel verdeutlicht.

Führungsübertragungsverhalten

Aus dem rechten Teil der obigen Gleichung geht hervor, dass ein ideal schnelles Führungsübertragungsverhalten erzielt werden kann, wenn die folgende Bedingung erfüllt wird:

G(s)Q(s)=1

Mit Q = 1/Ĝ ergibt sich für diese Bedingung:

G(s) \cdot \dfrac{1}{\hat{G}(s)}=1

Die Bedingung kann dann erfüllt werden, wenn das Modell Ĝ die Strecke G perfekt modelliert. Eine perfekte Modellierung von G ist in der Praxis jedoch meist nicht möglich, da Messunsicherheiten und Streckenänderungen (z.B. durch Alterung) eine ideale Nachbildung von G unmöglich machen. Je nach Anforderungen an die Regelgüte kann oft ein ausreichend genaues Modell Ĝ zum Reglerentwurf herangezogen werden.

Beispiel

Der IMC Reglerentwurf soll an einem Beispiel erläutert werden und wird nach folgenden Schritten durchgeführt:

  1. Modellierung der Strecke G mit einem geeigneten Modell Ĝ,
  2. Inversion des phasenminimalen Teils von Ĝ,
  3. Wahl eines geeigneten Filters Gf, so dass Q = Gf·Ĝ realisierbar wird,
  4. Simulation.

Schritt 1 – Modellierung von G:

Die Sprungantwort der Regelstrecke G wurde gemessen und ist in Abbildung 2 dargestellt. Der Antwortverlauf lässt auf ein System erster Ordnung mit Totzeit schließen. Die Totzeit wurde mit Tt = 0.25s und die Ausgleichszeit mit TG = 1s aus dem Diagramm abgelesen. Mit den abgelesenen Parametern resultiert das folgende Streckenmodell:

\hat{G}(s)=\dfrac{1}{s+1} \cdot e^{-0.25s}

Schritt 2 – Inversion:

Das in Schritt 1 ermittelte Streckenmodell wird in einen phasenminimalen, invertierbaren Teil Ĝ und einen nicht invertierbaren Teil Ĝ+ aufspalten:

\hat{G}(s)=\dfrac{1}{\underbrace{s+1}_{\hat{G}^{-}}} \cdot \underbrace{e^{-0.25s}}_{\hat{G}^{+}}

Ĝ kann nun invertiert werden:

\dfrac{1}{\hat{G}^{-}}=s+1

In diesem Beispiel handelt es sich bei der invertierten Übertragungsfunktion Ĝ um ein sprungfähiges System (mit Durchgriff), das nicht realisierbar ist. Sprungfähige Systeme besitzen eine unendlich schnelle Signaldurchlaufzeit, die in der Praxis nicht möglich ist. Um eine realisierbare Übertragungsfunktion Q zu erhalten, wird ein zusätzliches Filter Gf erforderlich. Dieses Filter wird in Schritt 3 ausgelegt.

Schritt 3 – Auslegung des Filters Gf:

Um eine gleiche Zähler- und Nennerordnung von Q zu erhalten, ist es ausreichend die Ordnung des Filters Gf gleich der Ordnung der Inversen von Ĝ zu wählen. Da die Inverse in diesem Beispiel eine Nullstelle besitzt, wird ein Filter erster Ordnung gewählt:

G_f(s)=\dfrac{1}{sT_f+1}

Hierbei kann die Filterkonstante Tf entsprechend den Anforderungen an den geschlossenen Regelkreis gewählt werden. Die Reihenschaltung aus Gf und der Inversen 1/Ĝ ergibt Q:

Q(s)=\dfrac{G_f(s)}{\hat{G}^{-}}=\dfrac{s+1}{sT_f+1}

Schritt 4 – Simulation:

Der geschlossene der entworfenen IMC Regelung ist in Abbildung 3 dargestellt. Bild 4 zeigt die Sprungantwort des geschlossenen Regelkreises auf einen Führungssprung wobei Tf wie folgt parametriert wurde:

T_f=[0.1 \;\;\; 1 \;\;\; 2]

Die Filterkonstante Tf ist als Designparameter zu sehen und entsprechend den Anforderungen an den geschlossenen Regelkreis zu wählen. Wird beispielsweise ein schnelles Verhalten gewünscht und ist ein Überschwingen unproblematisch, so kann Tf klein gewählt werden.
Abbildung 5 zeigt die Sprungantwort des geschlossenen Regelkreises auf einen Störsprung.

Internal Model Control - Blockschaltbild

Bild 1: Struktur des IMC Regelkreises
Internal Model Control - Sprungantwort der Strecke

Bild 2: Sprungantwort der Regelstrecke G
Internal Model Control - Geschlossener Regelkreis

Bild 3: IMC Regelkreis mit Übertragungsfunktionen
Internal Model Control - Sprungantwort Führungsverhalten

Bild 4: Antwort des geschlossenen Regelkreises auf einen Führungssprung
Internal Model Control - Sprungantwort Störverhalten

Bild 5: Antwort des geschlossenen Regelkreises auf einen Störungssprung

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