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Symmetrisches Optimum

In diesem Abschnitt wird von einem Standardregelkreis (Bild 1) mit einem Regler R(s) und einer Regelstrecke G(s) ausgegangen. Gleichermaßen wie bei der Reglerauslegung nach dem Symmetrischen Optimum wird bei einer Reglerauslegung nach dem Betragsoptimum [1] der Frequenzgang des geschlossenen Regelkreises optimiert. Das Ziel der Auslegung nach dem Betragsoptimum ist jedoch ein Übertragungsverhalten des geschlossenen Regelkreises, so dass für einen möglichst breiten Frequenzbereich der Betrag der Übertragungsfunktion den Wert eins annimmt. Die Methode des Betragsoptimums lässt sich jedoch nicht anwenden, wenn die folgenden beiden Punkte zutreffen:

  • Die Regelstrecke enthält einen I-Anteil
  • Eine Störung wirkt auf den Eingang der Strecke (Versorgungsstörung), so dass ein Regler mit I-Anteil erforderlich wird.

Handelt es sich um eine Regelungsaufgabe bei denen die obigen beiden Punkte zutreffen, so kann der Reglerentwurf nicht nach der Methode des Betragsoptimums erfolgen, denn:

  • Bei Verwendung eines Reglers mit I-Anteil wird der geschlossene Regelkreis bei Betragsoptimierung instabil oder
  • Bei Verwendung eines Reglers ohne I-Anteil ist zwar die Stabilität gewährleistet, jedoch kann die Störung am Streckeneingang nicht ausgeregelt werden.

Unter diesen Umständen empfiehlt sich eine Reglerauslegung nach dem Verfahren des Symmetrischen Optimums.
Bei der Methode des Symmetrischen Optimums wird der Regler so ausgelegt, dass an der Durchtrittsfrequenz des offenen Regelkreises das Maximum des Phasenganges erreicht wird. So ausgelegt wird die Regelung hinsichtlich des Phasenrandes optimal, da dieser für die entsprechende Konfiguration des Regelkreises maximal wird.

Symmetrisches Optimum: Regelung einer IT1-Strecke

Eine Reglerauslegung nach dem Symmetrischen Optimum soll nun beispielhaft für die folgende IT1-Regelstrecke G(s) berechnet werden:

G(s)=\dfrac{1}{s \cdot T_0}\dfrac{1}{s \cdot T_E + 1}=\dfrac{1}{s}\dfrac{1}{s + 1}

PI-Regelung

Um eine Versorgungsstörung d(n) (siehe Bild 1) ausregeln zu können, ist es erforderlich einen Regler mit I-Anteil einzusetzen.
Hier soll ein PI-Regler der folgenden Form zur Anwendung kommen:

R(s)=\dfrac{K_R(1 + T_N \cdot s)}{T_N \cdot s}

Berechnet werden im Rahmen der Reglerauslegung die Nachstellzeit TN und die Reglerverstärkung KR, so dass

  1. das Maximum des Phasenganges des offenen Regelkreises am Ort der Durchtrittsfrequenz liegt.
  2. die gewünschte Phasenreserve realisiert wird und damit das gewünschte Einschwingverhalten entsteht.

Die Nachstellzeit TN des Reglers soll auf die Zeitkonstante TE der Strecke bezogen:

T_N=T_E \cdot a^2 \;\;\;\;\;\; \text{mit} \;\; a>1 \;\; \text{Stabilit\"at}

Bei der Reglerauslegung wird folgendermaßen vorgegangen:

  1. Berechnung der Phasenreserve φR und Umstellen nach a
  2. Vorgabe der Phasenreserve φR und Berechnung von a bzw. TN
  3. Berechnung der Reglerverstärkung KR

Schritt 1: Berechnung der Phasenreserve und Umstellen nach a

Die Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises mit IT1-Strecke G(s) und PI-Regler R(s) lautet:

G_O(s)=G(s) \cdot R(s) = \dfrac{K_R(1 + T_N \cdot s)}{T_N \cdot s^2(s+1)}

Hieraus kann die Phase φ des offenen Regelkreises bestimmt werden:

\varphi = \arctan{(T_N \cdot \omega)}- ( \arctan{(\omega)}+\pi ) \;\;\;\;\;\; + \pi \text{da 3. Quadrant}

Die Durchtrittsfrequenz soll einen Wert annehmen, wobei die Phase maximal wird. Das Maximum der Phase ergibt sich wie folgt:

\dfrac{d\varphi}{d\omega} = \dfrac{T_N}{1+T_N^2 \cdot \omega^2} - \dfrac{1}{1+\omega^2}=0

Durch Umstellen nach ω erhält man die gewünschte Kreisfrequenz, bei der die Phase φ maximal wird:

\omega = \omega_{max}=\sqrt{\dfrac{1}{T_N}}

Da die Durchtrittsfrequenz an der Stelle ωmax liegen soll, wird nun die Phasenreserve φR für die Frequenz ωmax in Abhängigkeit von a berechnet:

\varphi = \pi + \varphi|_{\omega=\omega_{max}} = \pi + \arctan{(T_N \cdot \sqrt{\dfrac{1}{T_N}})}- ( \arctan{(\sqrt{\dfrac{1}{T_N}})}+\pi)

= \arctan{(a)} - \arctan{(\dfrac{1}{a})}

Umstellen nach a ergibt:

a = \dfrac{\sin{\varphi_R}+1}{\cos{\varphi_R}}\;\;\;\;\;\;a>1

Auf Basis dieses Ausdrucks ist es im Folgenden möglich, eine Phasenreserve vorzugeben und den Parameter a bzw. TN zu berechnen.

Schritt 2: Vorgabe der Phasenreserve

Es soll eine Phasenreserve von 40° eingestellt werden, was einem Wert von 0.7 im Bogenmaß entspricht. Folglich ergibt sich a bzw. TN zu:

a = \dfrac{\sin{(0.7)}+1}{\cos{(0.7)}}=2.15  \; \rightarrow \;T_N=a^2 \cdot T_E=4.62

Schritt 3: Berechnung der Reglerverstärkung

Die Reglerverstärkung KR soll nun so eingestellt werden, dass die Durchtrittsfrequenz bei ωmax liegt und die Nachstellzeit des Reglers von TN=4.62 realisiert wird:

|G_O(s)|_{\omega_{max},T_N=4.62}=1

=|\dfrac{K_R(1+j4.62\cdot \omega_{max})}{-4.62 \cdot \omega_{max}^2-j4.62 \cdot \omega_{max}^3}|=1

Dieser Ausdruck kann umgestellt werden, so dass sich KR ergibt:

K_R=0.47

Unter Verwendung der in Schritt 2 ermittelten Nachstellzeit sowie der in Schritt 3 berechneten Reglerverstärkung kann nun die Übertragungsfunktion des ausgelegten PI-Reglers aufgeschrieben werden:

R(s)=\dfrac{0.47\cdot (1+4.62 \cdot s)}{4.62 \cdot s}

Bild 2 zeigt Betrag und Phase des offenen Regelkreises. Wie erwartet liegt der Phasengang symmetrisch zum Kehrwert des arithmetischen Mittels aus Regler-Nachstellzeit und Strecken-Zeitkonstante.

Simulation

Führungsübertragungsverhalten des geschlossenen Regelkreises

Um das Führungsübertragungsverhalten des geschlossenen Regelkreises zu beurteilen, wird der Regelkreis mit einem Führungssprung bzw. der Heaviside-Funktion beaufschlagt (w(t)=1 für t≥0). Die resultierende Regelgröße y(t) ist in Bild 3 dargestellt.
Wir das Einschwingverhalten im Vergleich zur reinen P-Regelung betrachtet, so kann festgestellt werden, dass das Einschwingverhalten langsamer erscheint. Dies ist sogar dann der Fall, wenn die Dämpfung des dominanten Polpaares bei beiden Regelungen identisch ist. Grund hierfür ist, dass sich aufgrund des im PI-Regler vorhandenen I-Anteils eine Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises ergibt, wobei die Überschwingweite höher ausfällt als im Fall der reinen P-Regelung.

Störungsübertragungsverhalten bei Versorgungsstörung

Um das Störübertragungsverhalten zu analysieren, wird der geschlossene Regelkreis mit einem Störsprung der Amplitude 1 angeregt wobei für die Führungsgröße kein Signal anliegt:

d(t)=1\;\;\;\;\;\;\text{f\"ur}\; t\ge0

w(t)=0

Bild 4 zeigt wie zunächst die Störung auf eine maximale Amplitude von über 1.5 aufschwingt und dann schließlich abklingt. Die Ausregelgeschwindigkeit der Störung d(n) wird durch den Parameter a sowie durch die Zeitkonstante des Strecken-I-Anteils bestimmt. Dies wird ersichtlich bei Betrachten der Störübertragungsfunktion:

\dfrac{Y(s)}{D(s)}=\dfrac{a^3s}{a^3T_0s^3+a^3T_0s^2+a^3T_0s+T_0}

T_0:\;\text{Zeitkonstante, I-Anteil der Strecke}

Der Einfluss der Störübertragungsfunktion kann minimiert werden, indem a verkleinert oder T0 vergrößert wird.
Eine Verkleinerung von a beeinflusst die Führungsübertragungsfunktion und führt zu verstärktem Überschwingen bei einem Führungssprung. Eine Vergrößerung der Zeitkonstanten T0 ist nicht möglich, da diese streckenbedingt nicht veränderbar ist.

Bemerkung: PID-Reglerauslegung unter Verwendung des Symmetrischen Optimums

Zum Schluss noch eine Bemerkung zur Auslegung eines PID-Reglers mit dem Symmetrischen Optimum: In Verbindung mit dem Beispiel einer IT1-Strecke ist eine PID-Regelung nicht sinnvoll, da kein verbessertes Regelverhalten erzielt werden kann.
Es kann jedoch verbessertes Regelverhalten erzielt werden, wenn ein weiteres Verzögerungsglied mit großer Zeitkonstante in der Regelstrecke enthalten ist. Dies ist beispielsweise bei einer IT2-Strecke der Fall ist:

G(s)=\dfrac{1}{s}\dfrac{1}{(s \cdot T_E + 1)(s \cdot T_1 + 1)}\;\;\;\;\;\; T_1 >> T_E

In diesem Fall wird die im Vergleich zum PI-Regler zusätzliche Nullstelle dazu genutzt, den Pol mit der großen Zeitkonstanten T1 zu kompensieren, was zu einem verbesserten Regelverhalten führt.
Hierzu finden sich Einstellregeln nach dem Symmetrischen Optimum für ITN-Strecken in der Literatur [1].

B1_Regelkreis

Bild 1: Standardregelkreis mit Versorgungsstörung d(n)
B2_Bode

Bild 2: Frequenzgang des offenen Regelkreises nach symmetrischer Optimierung
B4_AntwortFuehrungssprung

Bild 3: Antwort des geschlosssenen Regelkreises auf einen Führungssprung
B5_AntwortStoersprung

Bild 4: Die Versorgungsstörung d(n) wird aufgrund des Regler-I-Anteils ausgeregelt

Literatur – Symmetrisches Optimum

[1]: Lutz, Holger und Wendt, Wolfgang:
Taschenbuch der Regelungstechnik, Verlag Harri Deutsch

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